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Pourquoi X^0 = 1?

Écrit le 31/10/2006 @ 10:33 par Drizzt

Général - ÉnigmeDans une de mes écoles du primaire, un prof m'a demandé si j'étais capable d'expliquer pourquoi un chiffre exposant 0 donnait toujours 1. Incapable d'expliquer pourquoi, je me suis tourné vers Google, où des réponses les plus farfelues les autres que les autres m'attendaient.

Puis je suis tombé sur un explication financière intéressante, et j'ai ensuite débloqué!

L'explication financière était :

X * i^a = y où :

X = le montant dans ton compte
i = le pourcentage d'intérêts + 100%
a = l'année que tu veux calculer
y = le montant que tu auras, a ou avais dans ton compte.

Ainsi, si tu veux savoir combien tu avais l'an passé, tu mets a = -1. Si tu veux savoir cet année, a=0, et donc i^a = 1.

Je n'étais pas satisfait de l'explication, alors j'ai continué à réfléchir, et je suis arrivé avec ceci :

X^0 = X^n-n = X^n * X^-n = X^n * 1/X^n = X^n/X^n = 1

Ça m'a permis d'épatter une classe de 6e année.. et son professeur! Laughing out loud

Commentaires

Commentaire par Alexandre  Score: 2
Écrit le: 31/10/2006 @ 11:21

Bonne observation et bonne réflexion! Smart!

Commentaire par Drizzt  Score: 2
Écrit le: 31/10/2006 @ 13:09

Ce qui me chicotte, c'est que ça fonctionne avec tout sauf X=0. Je veux dire, n'importe quoi divisé par lui-même donne 1, mais 0/0, est-ce 1 ou impossible?

Commentaire par Alexandre  Score: 2
Écrit le: 31/10/2006 @ 13:28

Changement de réponse: indéterminé (si jamais quelqu'un tombe sur le site, on ne l'induira pas en erreur)
Dernière modification le 01/11/2006 @ 08:02

Commentaire par Drizzt  Score: 2
Écrit le: 31/10/2006 @ 14:39

Je vois pourquoi ça pourrait être ceci, mais dans ce cas là, 0=1 Laughing out loud

J'explique..

Une division est une comparaison entre 2 éléments, non?

Donc, rien par rapport à rien, c'est 100%, donc 1, mais c'est aussi rien, donc 0. Laughing out loud Desperated

Commentaire par Alexandre  Score: 2
Écrit le: 01/11/2006 @ 08:18

En fait, ce n'est pas fou ce que tu dis si on regarde les limites de l'expression. D'un côté, pour toute valeur positive de x dans x^0, on obtient 1 (lorsque x tend vers 0+):
0.00000000000000000000000000000000000000001^0 = 0.00000000000000000000000000000000000000001^x/0.00000000000000000000000000000000000000001^x = 1

De l'autre côté, pour toute valeur négative de x dans la même expression, on obtient 0:
-0.00000000000000000000000000000000000000001^0 = -0.00000000000000000000000000000000000000001^x/-0.00000000000000000000000000000000000000001^x = 1 aussi


Finalement, remarquons que x^0 donne toujours 1 sauf pour 0 alors que 0^x donne toujours 0 sauf pour 0. On a ici deux phénomènes contradictoires. C'est ce qui rend le résultat indéterminé.

Commentaire par Nick  Score: 2
Écrit le: 31/10/2006 @ 20:25

Attention, toute division par 0 est impossible, incluant 0/0.
Pour des raisons différentes, 0^0, est indéterminé.
Dernière modification le 01/11/2006 @ 19:27

Commentaire par Drizzt  Score: 2
Écrit le: 31/10/2006 @ 20:31

C'est ce que je pensais. Merci ô grand maître des maths! Prosterne

Commentaire par Alexandre  Score: 2
Écrit le: 01/11/2006 @ 08:01

Fait intéressant, Google répond à la question par:
0^0 = 1

En fait, si on regarde de plus près l'expression, Google transforme l'expression en ceci avant de la calculer:
+0^0, ce qui fait qu'il calcule la limite positive de l'expression, c'est-à-dire qu'aussi petite soit la valeur positive, lui mettre l'exposant 0 donnera toujours 1.

Nick, tu as tout à fait raison sur 0^0, je retire ce que j'ai dit précédemment (corrigé si jamais quelqu'un tombe dessus, je ne veux pas le mettre en erreur). J'aimerais précisé qu'il faut cependant dire indéterminé et non impossible, ce qui est différent, mais n'en change pas moins le résultat dans ce cas-ci.
Dernière modification le 01/11/2006 @ 08:21

Commentaire par Nick  Score: 2
Écrit le: 01/11/2006 @ 19:29

J'ai modifié mon commentaire... j'ai conservé que toute division par 0 est impossible, car c'est effectivement impossible de diviser par zéro. Par contre, pour le 0^0, j'ai inscrit indéterminé.

Commentaire par zetudiant  Score: 2
Écrit le: 19/04/2007 @ 05:57

excusez-moi de rentrez dans votre conversation mais c'est le seul site que j'ai trouvée et qui en parle et comme j'avait je me suis dit que si vous connaissiez ce permettrait de mieux comprendre quoi


alors voilà j'avait penser moi pour x^0 vu que x^1=x et x^-1=1/x alors le passage par 0 revenait à dire que x^0 =x/x et x^-1=x/x² ok oui mais ce qui ne va pas avec cette explication c'est que voilà qd x est négatif c'est plus du tout = à 1 mais à -1


==> je pencherai plus pour une fonction à escalier je sais pas si vous voyer ce que je veux dire quoi en gros c'est constant partout après 0 et c'est égale à 1 et à 0 ca saute de -1 à 1 c'est pour cela que le zéro est exclu


Mais mon grand problème avec la première explication est pour le x/x pour x^0 c'est plus bon parce que -5/-5=1 quoi


voilà c'est tout si quelqu'un à une réponse ca serait bien de m'éclairer merci d'avance

et pour info pour -5^0=-1 je l'ai tapez sur ma calculatrice voilà et comme elle me paraît assez fiable (en tout cas plus que mes prof. qui me répète depuis la première secondaire que x^0=1 sans dire pour autant que x est positif ce qui remet en question tous les calculs que j'ai pu faire jusque là).. Smile

Commentaire par Nick  Score: 2
Écrit le: 19/04/2007 @ 06:22

Premièrement, ça fait toujours plaisir de voir que certaines personnes s'intéresse à nos conversations!!

Ensuite, ta calculatrice est effectivement fiable, mais (-5)^0=1.

La calculatrice fonctionne avec l'ordre des opérations. Comme la soustraction (le moins) passe après l'exposant, ta calculatrice fait -(5^0)=-(1)=-1. Pour t'en assurer tape l'expression suivante dans un tableur

=(-5)^0


Comme on a dit que R*^0=1, il ne reste que le problème de 0^0 et ceci nous ramène au fait que ce n'est pas couvert dans l'arithmétique, mais seulement dans le calcul infinitésimal, donc relire le commentaire de Zalex plus haut concernant les limites.

Honnêtement, je n'arrive pas du tout à expliquer pourquoi 0^0 n'est pas couvert en arithmétique, si quelqu'un est capable de donner une explication simple, allez-y fort. Je vais continuer à méditer là-dessus en faisant des déclaration...

En conclusion, toute valeur exposant 0 donne 1, sauf 0^0 qui n'est pas défini.

R* représente l'ensemble des réels sauf 0.
La négation a le même ordre de priorité que l'addition et la soustraction
Dernière modification le 19/04/2007 @ 06:29

Commentaire par Drizzt  Score: 2
Écrit le: 19/04/2007 @ 06:57

Honnêtement, je n'arrive pas du tout à expliquer pourquoi 0^0 n'est pas couvert en arithmétique, si quelqu'un est capable de donner une explication simple, allez-y fort. Je vais continuer à méditer là-dessus en faisant des déclaration...


Honnêtement, je crois que la seule bonne réponse, présentement, c'est à cause de la division par 0.

Autrement, ça ferait longtemps que ce serait expliqué dans nos livres de math!

Il y a toujours l'autre qui a décidé d'appeller ça nullity Wink


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